Investice do rozvoje vzdělávání
   Tisknout

Pravidlo součtu a součinu


Příklad č.:  1525
www.SbirkaPrikladu.eu/p/1525

Zařazen do skupin:
Kombinatorická pravidla součtu a součinu
Variace
Stupeň školy:
Středoškolský

Autor:
Hana Morkesová
Obtížnost dle autora:
3
Obliba dle uživatelů:

Zadání příkladu


Kolika způsoby lze z 10 předmětů sestavit páteční 6-hodinový rozvrh, jsou-li předměty  v tomto dni zastoupeny v rozvrhu nejvýše jedenkrát a v rozvrhu určitě není čtvrtou hodinu tělesná výchova.

Řešení příkladu


1. způsob: Vezmeme nejprve v úvahu všechny možnosti, které mohou nastat sestavením 6-hodinového rozvrhu z 10 předmětů: 1. hodinu vybírám z 10 předmětů, 2. hodinu vybírám již jen z 9 předmětů, 3. hodinu vybírám z 8 předmětů, 4. hodinu vybírám ze 7 předmětů, 5. hodinu vybírám ze 6 předmětů a 6. hodinu vybírám z 5 předmětů, celkem  9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 151 200 možností.
Tyto možnosti obsahují rozvrhy kdy je TV čtvrtou hodinu a možnosti, kde není TV čtvrtou, nebo není v rozvrhu vůbec.
Možnosti které nemohou nastat jsou, když je TV čtvrtou hodinu, tj. Vybírám 1. hodinu vybírám z 9 předmětů (TV již vybrána), 2. hodinu vybírám jen z 8 předmětů, 3. hodinu vybírám z 7 předmětů, 4. hodinu je TV, tedy nevybírám, 5. hodinu vybírám ze 6 předmětů a 6. hodinu vybírám z 5 předmětů,
celkem  9 . 8 . 7 . 6 . 5  = 15 1 20 možností.
Výsledný počet možností je tedy rovnice 151 200 = x + 15 120, kde x je počet rozvrhů, kdy TV není 4. hodinu, nebo není vůbec.
x = 151 200 - 15 120 = 136 080

2. způsob: Není-li v rozvrhu určitě TV čtvrtou hodinu znamená, že TV může být kteroukoliv jinou a nebo není v rozvrhu vůbec. Jednodušší bude řešit všechny možnosti které mohou nastat a od nich odečíst možnosti, které určitě nastat nemohou.
Počet všech rozvrhů, které lze sestavit jsou V(6,10)
Možnosti které nemohou nastat jsou ty, kde je TV čtvrtou hodinu. Budu tedy vybírat ještě 5 předmětů z devíti (TV jeiž je vybrána): V(5,9)
Celkem V(6,10) - V(5,9) = 151 200 - 15 120 = 136 080


Výsledek příkladu


136 080
×